Иврит и не только

הִרחִיק [לְהַרחִיק, מַ-, יַ-]
удалять, устранять

Перед гортанным "р" ничего не происходит?

Обычно нет. Есть единичные случаи, когда происходит перед решем и ламедом: hеръа, мерхак, мельтаха, мелькахайим.

Как насчет

בֵּירֵר [לְבָרֵר, מְ-, יְ-]
выяснять

מֵירֵר [לְמָרֵר, מְ-, יְ-]
огорчать

Вы спрашивали про конкретную ситуацию (превращение неполного хирика в сеголь перед решем со шва), я про нее отвечал. Я же не говорю, что реш вообще никогда не проявляется как гортанная. Как раз ташлум дагеш (Ваши последние примеры) с решем работает почти стопроцентно (кроме случая, когда союз ше- добавлен к слову, начинающемуся на реш).

Я действительно смешал несколько разных явлений.

1. Мой начальный вопрос был о том, влияет ли в hифьиле первый корневой рейш на огласовку под h? Если не влияет, то почему?
הרחיק vs הכניס

2. (кроме случая, когда союз ше- добавлен к слову, начинающемуся на реш) - приведите, пожалуйста, примеры

1. Ну, я вроде на этот вопрос и ответил. Насчет почему - какое из двух "почему" Вас интересует? Историю и этимологию этого правила я не знаю. Но само правило выглядит именно так: буква реш обычно в нем не проявляется.

2. Ше-решима, ше-рош, ше-руах и т.д. Само ше- огласуется сеголем (малой огласовкой) и требует сильного дагеша в следующей букве (ше-байит). Если эта буква дагеша не принимает, то мог бы произойти ташлум дагеш, но он при ше- не происходит.